功、能量、动力

数积

向量的乘法有两种方法。一种称为标量积，而另一种称为向量积。

我们取任意两个向量A和B，它们的标量积(或点积)记为A.B (A•B)。

A.B = A.B cos θ .............(1)

在这种情况下，因为A B和cos θ是标量所以点积是一个标量。

上式也可写成:

A.B = A(B cos θ)

= B(A cos θ)

这张图显示了两个向量A和B以θ角相交。在第二张图中，蓝线表示B在A上的投影。蓝线(在第三张图中)表示A在B上的投影。因此，A.B是A的大小与B沿A的分量的乘积。同样，它也是B的大小与A沿B的分量的乘积。

标量积遵循交换律

答:b = b

标量积服从分配律。

A.(b + c) = A.(b + c

而且，a (λ b)= λ(A.B)

式中λ为实数。

对于单位向量，î， k, k, k我们有

我。= =。k, k, k= 1

我。= =。K³= K³.î= 0

如果有如下两个向量:

“我+得+ = A_x \ \ĵ+ k̂A_z \ '

' B =提出\我的话+ \ĵ+ k̂说是\ '

则标量积为:

“A.B = (= A_x \ i +得+ \ĵ+ A_z \ k̂)。(B =提出\我的话+ \ĵ+说是\ k̂)”

' = A_x \提出+得+ \的话+ A_z \说是'

我们也可以这样写

”一个。一个= A_x \ A_x +得+ \得+ + A_z \ A_z '

或者,“^ 2 = A_x ^ 2 +得+ ^ 2 + A_z ^ 2》

如果A和B垂直，那么θ = 0°。cos90°= 0

在这种情况下，ab = 0

功能定理

让我们回想一下下面的运动方程:

“v ^ 2 u ^ 2 = 2 ` ..................( 2)

这里，u是初始速度，v是最终速度，a是加速度，s是距离。

两边同时乘以m/2，就得到

“1/2mv ^ 2-1/2mu ^ 2 = mas '

由于' mx =F '，所以上式可以写成:

马斯的1/2mv ^ 2-1/2mu ^ 2 = = f '

利用向量，可以将式(2)推广为

公元' v ^ 2 u ^ 2 = 2”

这里，a和d是加速度和位移向量

两边同时乘以m/2，就得到

“1/2mv ^ 2 - 1 /μm ^ 2 = \公元= F。d ` ...............( 3)

我们知道

动能1/2mv^2=K

“F。d = W '(工作)

因此，式(3)可写成:

' K_f-K_i = W ` ...............( 4)

在这里,K_我为初始动能，K_f是最终动能。在此方程中，功可以定义为:

"粒子动能的变化量等于合力对它所做的功"

工作

让我们取一个物体，当一个恒定的力F作用于它时，它在正x方向上发生位移d。在这种情况下，力的分量(在位移方向上)和位移的大小的乘积称为所做的功。

W = (F cos θ)d = F.d

如果没有做功

位移= 0
力= 0
力和位移在相互垂直的方向。(因为cos90°= 0)
如果θ在0°和90°之间，所做的功是正的
如果θ在90°和180°之间——所做的功是负的

功和能有相同的量纲²T²]。SI的功和能单位是焦耳(J)。

变力做的功

在现实生活中，我们很少遇到恒定的力。在一般情况下，可变力是常态。

若位移Δx较小，则力F(x)可视为常数。在这种情况下，所做的功如下:

ΔW = F(x) Δx

这张图显示了变力与位移的关系。连续的矩形(在图中)给出在特定位移时刻所做的功。总功等于连续矩形的面积之和。这可以由下式给出。

W ~ Σ F(x) Δx

变力的功能定理

动能的时间变化率为

”(dK) / (dt) = d / (dt) (1/2mv ^ 2) = m (dv) / (dt) v '

或者,“(dK) / (dt) =阵线的

或者,”(dK) / (dt) = F (dx) / (dt) '

所以,“dK = x Fd \ '

在集成,

或者,

我们之前见过K_f- K_我= W

由此证明了变力时的功能定理。

势能

假设一个质量为m的球被举起到高度h。外力对重力所做的功为

' W = mgh '

所做的功以势能的形式储存起来。重力势能用V(h)表示;作为高度h的函数，它是重力把物体提升到那个高度所做的负功。

“V (h) = mgh”

重力F等于负的V(h)对h的导数，因此，

' F = - d / (dh) V (h) =毫克'

负号表示重力向下的方向。当球被释放时，它以越来越快的速度落下。球(在击中地面之前)的速度由下面的公式给出。

“v ^ 2 = 2 gh”

这个方程可以写成

“1/2mv ^ 2 = mgh '

这意味着物体在高度h处的重力势能，表现为到达地面时的动能。

保守力(如重力)所做的功只取决于初始位置和最终位置。如果所做的功或动能确实取决于其他因素(如速度或物体所采取的特定路径)，则该力将被称为非保守力。