实数
NCERT演习1.3
问题1:证明' sqrt5 '是非理性的。
答:让我们假设相反的情况。' sqrt5 '是理性的。
因此，可以有两个整数a和b (b≠0)，a和b是互素，因此;
“sqrt5 = a / b”
或者,“bsqrt5 =“
两边平方，得到;
“5 b ^ 2 = ^ 2”
这意味着2能被5整除，因此a也能被5整除。
这与我们先前关于a和b是互素的假设相矛盾，因为我们已经发现5是a和b的至少一个公因数。
这也与我们之前的假设相矛盾，即“sqrt5”是非理性的。
因此，' sqrt5 '是非理性的。
问题2:证明“3+2√5”是非理性的。
答:让我们假设相反，即。“3+2√5”是理性的。
因此，可以有两个整数a和b (b≠0)，a和b是互素，因此;
“3 + 2 sqrt5 = a / b”
或者,“2 sqrt5 = /酮”
因为a和b是有理数，所以' a/b-3 '是有理数，因此，' 2√5 '是有理数。
但这与“2sqrt5”是非理性的事实相矛盾。
这是由于我们错误的假设造成的。
因此，“3+2√5”是不合理的
问题3:证明以下是无理数:
(我)“1 / sqrt2”
答:让我们假设相反，即。1/√2是理性的。
因此，可以有两个整数a和b (b≠0)，a和b是互素，因此;
“1 / sqrt2 = a / b”
或者,“asqrt2 = b”
两边平方，得到;
“2 ^ 2 = b ^ 2”
这意味着b2能被2整除，因此a也能被2整除。
这与我们之前关于a和b是共质的假设相矛盾，因为2至少是a和b的一个公因数。
这也与我们之前假设的“1/ sqt2”是合理的相矛盾。
因此，‘1/ sqt2’被证明是非理性的。
(2)“7 sqrt5”
答:让我们假设相反，即。' 7sqrt5 '是理性的。
可以有两个整数a和b (b≠0)且a和b是互素，因此;
“7 sqrt5 = a / b”
或者,“\ xx7sqrt5 =“
两边平方，得到;
“245 b ^ 2 = ^ 2”
这意味着2能被245整除;也就是说a能被245整除。
这与我们之前关于a和b是互素的假设相矛盾，因为245至少是a和b的一个公因数。
这是因为我们错误的假设，因此，“7sqrt5”是非理性的。
(3)“6 + sqrt2”
答:让我们假设相反，即。' 6+√2 '是理性的。
因此，可以有两个整数a和b (b≠0)，a和b是互素，因此;
“6 + sqrt2 = a / b”
或者,“sqrt2 = a / b - 6”
因为a和b是有理数，所以' a/b-6 '是有理数，因此' sqt2 '是有理数。
但这与“sqt2”是非理性的事实相矛盾。
这是由于我们错误的假设造成的。
因此，' 6+ sqt2 '被证明是非理性的。
练习1.4 (NCERT手册)
问题1:在不实际执行长除法的情况下，陈述以下有理数是有终止小数展开还是有非终止小数展开:
(我)(13) / (3125), (2)“(17)/(8)”(3)“(64)/(455)”(iv)“(15)/(1600)”(v)“(29)/(343)”(vi)”(23)/(2 ^ 3 \ 5 ^ 3)”(七)”(129)/(2 ^ 2 5 ^ 7 \ \ 7 ^ 5)”(八)(6) /(15)”(第九)(35) /(50)的(x) `(77)/(210)`
答:(i)， (ii)， (iv)， (vi)， (viii)和(ix)是小数展开的终止。
(iii)， (v)， (vii)和(x)是不终止的重复十进制展开。
问题2:写出问题1中有理数的十进制展开形式。
答:
(我)”(13)/ (3125)= 0.00416
(2)”(17)/ (8)= 2.125
(iv)”(15)/ (1600)= 0.009375
(vi)”(23)/ (2 ^ 3 \ 5 ^ 2)= 0.115 '
(八)(6) / (15) = 0.4
(第九)”(35)/ (50)= 0.7
问题3:下列实数有十进制展开，如下所示。在每种情况下，判断它们是否理性。如果它们是有理数，并且是p/q的形式，q的质因数是什么?
(我)43.123456789
答:这是一个有理数，q的质因数不是2就是5。
(二)0.120120012000120000 ...........
答:这是一个无理数。
43(3)。123456789
答:这是一个有理数。在这种情况下，q有2或5，或者两个都是质因数而且还有其他因数。