三角形
相似的标准
所有相等的数都是相似的，但这并不意味着所有相似的数都是相等的。
两个边数相同的多边形是相似的，如果:
- 它们的同位角相等。
- 它们对应的边是相同的比例。
两个三角形相似，如果:
- 它们的同位角相等。
- 它们对应的边是相同的比例。
根据希腊数学家泰勒斯的说法，“两个等角三角形中任意两条对应边的比值总是相同的。”
- 如果画一条线平行于三角形的一边，并在不同的点上与另外两条边相交，则另外两条边按相同的比例分割。
- 如果一条直线以同样的比例将三角形的任意两条边相除，那么这条直线就平行于第三条边。
- 如果两个三角形的同位角相等，那么它们的同位边的比例(或比例)是相同的，因此这两个三角形是相似的。
- 如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形是相似的。
- 如果在两个三角形中，一个三角形的边长与另一个三角形的边长成比例，那么它们的同位角相等，因此这两个三角形相似。
- 如果一个三角形的一个角等于另一个三角形的一个角，并且包含这两个角的两条边成比例，那么这两个三角形是相似的。
- 两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方。
- 如果一条垂线是从直角三角形的直角顶点到斜边的，那么垂线两边的三角形都与整个三角形相似，而且彼此相似。
- 在直角三角形中，斜边的平方等于另外两条边的平方和。
根据印度数学家Budhayan的说法，“矩形的对角线本身产生的面积与它的两边(即长度和宽度)所产生的面积相同。”
在三角形中，如果一条边的平方和等于另两条边的平方和，那么第一条边的对角就是直角。
如果在三角形中，一条边的平方等于另两条边的平方和，那么第一条边的对角就是直角。
定理1:
如果画一条线平行于三角形的一边，并在不同的点上与另外两条边相交，则另外两条边按相同的比例分割。
建设:ABC是一个三角形。DE || BC和DE相交于AB在D处和AC在E处。
2 .将B与E、C与d联合起来。
证明:(广告)/ (DB) = (AE) / (EC) '
证明:
“文本(ar AEM) = 1/2xx(广告)xx (EM) '
类似的;
“文本(ar 12) = 1/2xx (DB) xx (EM) '
“文本(ar正面)= 1/2xx (AE) xx (DN) '
12月的文本(ar) = 1/2xx (EC) xx (DN)”
因此;
“文本(ar正面)/文本(ar 12) = (1/2xx(广告)xx (EM)) / (1/2xx (DB) xx (EM)) =(广告)/ (DB) '
类似的;
' text(ar ADE)/text(ar DEC)=(AE)/(EC) '
三角形BDE和三角形DEC在同一底上，即DE，在同一平行线之间，即DE和BC。
因此，ar(BDE) = ar(DEC)
从上面的方程可以清楚地看出;
”(广告)/ (DB) = (AE) / (EC)的证明
定理2:
如果一条直线以同样的比例将三角形的任意两条边相除，那么这条直线就平行于第三条边。
建设:ABC是直线DE以等比除AB和AC的三角形。这意味着:' (AD)/(DB)=(AE)/(EC) '
证明:De || BC
让我们假设DE与BC不平行。我们再画一条平行于BC的直线DE '
证明:
如果DE ' || BC，那么我们有;
”(AB) / (DB) = (AE) / (E 'C)”
根据定理;
' (AB) / (DB) = (AE) / (EC) '
然后根据第一个定理;E和E '一定是重合的。
这证明:DE || BC
定理3:
如果两个三角形的同位角相等，那么它们的同位边的比例(或比例)是相同的，因此这两个三角形是相似的。这也被称为AAA(角度-角度-角度)准则。
建设:画出两个三角形ABC和DEF，使它们的同位角相等。这意味着:
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
证明:
' (AB) / (DE) = (AC) / (DF) = (BC) / (EF) '
在第二个三角形中画一条线PQ，使DP = AB, PQ = AC
证明:
“ΔABC≅ΔDPQ”
因为这两个三角形对应的边是相等的
这意味着;∠B =∠P =∠E和PQ || EF
这意味着;
”(DP) / (PE) = (DQ) / (QF) '
因此;
”(AB) / (DE) = (AC) / (DF) '
”(AB) / (DE) = (BC) / (EF) '
因此;
' (AB) / (DE) = (AC) / (DF) = (BC) / (EF)的证明
定理4:
如果在两个三角形中，一个三角形的边长与另一个三角形的边长成比例，那么它们的同位角相等，因此这两个三角形相似。这也被称为SSS (Side-Side-Side)标准。
建设:画出两个三角形ABC和DEF，使它们对应的边成比例。这意味着:
' (AB) / (DE) = (AC) / (DF) = (BC) / (EF) '
证明:∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
因此;Δ ABC∼Δ def
在三角形DEF中，画一条直线PQ，使DP = AB, DQ = AC
证明:
“ΔABC≅ΔDPQ”
因为这两个三角形对应的边是相等的
这意味着;
”(DP) / (PE) = (DQ) / (QF) = (PQ) / (EF) '
这也意味着;∠P =∠E，∠Q =∠F
我们已经采取了;∠A =∠D，∠B =∠P，∠C =∠Q
因此;∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
从AAA标准;
Δ ABC∼Δ DEF证明