三角形

NCERT练习6.5

第1部分

问题1:三角形的边长如下。确定哪些是直角三角形。对于直角三角形，写出它的斜边的长度。

(a) 7厘米、24厘米、25厘米

解决方案:在直角三角形中，最长的边是斜边。我们还知道，根据毕达哥拉斯定理:

斜边²=基地²+垂直²

让我们来检验给定的三条边是否满足毕达哥拉斯定理的条件。

25²= 24²+ 7²

或者，625 = 576 + 49

或者，625 = 625

这里，LHS = RHS

因此，这是一个直角三角形。

(b) 3厘米、8厘米、6厘米

解决方案:让我们检查一下给定的边是否满足毕达哥拉斯定理的条件。

' 8²= 6²+ 3²'

或者，' 64 = 36 + 9 '

或者，' 64≠45 '

在这里;LHS不等于RHS

因此;这不是一个直角三角形。

解决方案:让我们检查一下给定的边是否满足毕达哥拉斯定理的条件。

100^2 = 80^2 + 50^2

或者，‘10000 = 6400 + 2500’

或者，‘10000≠8900’

在这里;LHS不等于RHS

因此;这不是一个直角三角形。

(d) 13厘米、12厘米、5厘米

解决方案:让我们检查一下给定的边是否满足毕达哥拉斯定理的条件。

' 13²= 12²+ 5²'

或者，‘169 = 144 + 25’

或者，' 169 = 169 '

在这里;LHS = RHS

因此;这是一个直角三角形。

问题2:PQR是P点上的直角三角形，M是QR上的一点，使得PM⊥。让PM知道²= QM。先生。

解决方案:在三角形PMQ和RMP中

∠PMQ =∠RMP(直角)

∠PQM =∠RPM (90 - mrp)

因此;PMQ∼RMP (AAA标准)

所以,“(PM) / (QM) =(先生)/ (PM) '

或者,“点^ 2 = QM。先生的证明

问题3:上图中，ABD为直角于a和AC⊥BD的三角形

(一)' (AB)^2 = (BC)xx(BD) '

解决方案:三角形ACB和DAB

∠ACB =∠DAB(直角)

∠CBA =∠ABD(公角)

因此;Acb ~ dab

所以,' (AB) / (BC) = (BD) / (AB) '

或者,“AB ^ 2 = BD。公元前的证明

(b)交流²= BC。直流

解决方案:在三角形ACB和DCA中

∠ACB =∠DCA(直角)

∠cba =∠cad

因此;Acb ~ dca

所以,' (AC) / (BC) = (DC) / (AC) '

或者,“交流^ 2 = BD。CD的证明

(c)广告²= bd . CD

解决方案:在三角形DAB和DCA中

∠DAB =∠DCA(直角)

∠abd =∠cad

因此;Dab ~ dca

所以,”(广告)/ (BD) = (CD) /(广告)

或者,“^ 2 = BD广告。CD的证明

问题4:ABC是一个以c为直角的等腰三角形²= 2交流²．

解决方案:在这种情况下;AB是斜边AC = BC是另外两条边

根据毕达哥拉斯定理:

' ab²= ac²+ bc²'

或者AB^2 = AC^2 + AC^2

或者，AB^2 = 2AC^2证明了

问题5:ABC是一个等腰三角形，AC = BC。如果AB²= 2交流²，证明ABC是直角三角形。

解决方案:这个问题将以与之前问题相同的方式出售。

在这种情况下;最长边的平方=其他两条边的平方和

因此，这是一个直角三角形。

问题6:ABC是一个边为2a的等边三角形。求出每个高度。

解决方案:在等边三角形的情况下，高度将三角形分为两个相等的直角三角形。在这样形成的直角三角形中，我们有;

斜边=等边三角形的一条边= 2a

垂线=等边三角形的高度= p

底边=等边三角形的一半边= a

利用毕达哥拉斯定理，垂线可计算如下:

' p²= h²- b²'

或者p²= (2a)²- a²

或者，' p²= 4a²- a²= 3a²'

或者，' p = a\sqrt3 '

问题7:证明一个菱形的边长平方和等于它对角线的平方和。

解决方案:ABCD是一个菱形，其中对角线AC和BD相交于点O。

证明:' ab²+ bc²+ cd²+ ad²= ac²+ bd²'

在∆AOB;ab ^2 = ao ^2 + bo ^2

中。BOC;' bc²= co²+ bo²'

In。COD;cd ^2 = co ^2 + do ^2

In∆AOD;ad ^2 = do ^2 + ao ^2

将上述四个方程相加，得到;

' ab²+ bc²+ cd²+ ad²'

' = AO BO ^ ^ 2 + 2 + CO . BO ^ ^ 2 + 2 + ^ ^ 2 + 2 +做^ 2 + AO ^ 2》

或者,“AB ^ 2 + BC ^ 2 + CD广告^ ^ 2 + 2》“= 2 (AO BO ^ ^ 2 + 2 ^ 2 +公司+ ^ 2)”

或者,公元前的AB ^ 2 + ^ 2 + CD广告^ ^ 2 + 2》“= 2 (2)ao ^ 2 + 2 bo ^ 2)”

(因为“AO = CO”和“BO = DO”)

或者,“AB ^ 2 + BC ^ 2 + CD广告^ ^ 2 + 2 = 4 (AO BO ^ ^ 2 + 2 )` .........( 1)

现在，让我们求对角线平方和;

' ac²+ bd²= (ao + co)²+ (bo + do)²'

' = (2ao)²+ (2bo)²'

' = 4ao ^2 + 4bo ^2 ' ......(2)

由式(1)(2)可知;

证明了AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2

问题8:在上图中，O是三角形ABC、OD⊥BC、OE⊥AC和of⊥AB中的一个点

(一)的OA ^ 2 + OB ^ 2 + OC ^ 2 - OD ^ 2 - OE的^ ^ 2 - 2 ' ' = AF BD ^ ^ 2 + 2 + CE ^ 2》

解决方案:在∆AFO;' af ^2 = oa ^2 - of ^2 '

在∆BDO;' bd²= ob²- od²'

在∆CEO;ce ^2 = oc ^2 - oe ^2

将上述三个方程相加，得到;

证明了' AF^2 + BD^2 + CE^2 ' = OA^2 + OB^2 + OC^2 - OD^2 - OE^2 - OF^2 '

(b)' af²+ bd²+ ce²= ae²+ cd²+ bf²'

解决方案:在∆AEO;' ae²= oa²- oe²'

在∆CDO;cd ^2 = oc ^2 - od ^2

In∆BFO: ' BF^2 = OB^2 - OF^2 '

将上述三个方程相加，得到;

“AE ^ ^ 2 + 2 + CD男朋友^ 2》' = OA ^ 2 + OB ^ 2 + OC ^ 2 - OD ^ 2 - OE的^ ^ 2 - 2》

从之前的解中，我们还得到;

“AF BD ^ ^ 2 + 2 + CE ^ 2》' = OA ^ 2 + OB ^ 2 + OC ^ 2 - OD ^ 2 - OE的^ ^ 2 - 2》

比较上述两个方程的RHS，得到;

“AF BD ^ ^ 2 + 2 + CE ^ 2》“= AE CD ^ ^ 2 + 2 +男朋友^ 2的证明